三角函数高次幂积分
在我们对三角函数进行定积分计算的时候，可能会遇到高次幂的情况，诸如
\[ \int {sin}^8x dx \]
\[ \int {sin}^{10}x dx \]
等等积分。当然如果对应积分的上下限位于 \([0,\frac{\pi}{2}]\),那么我们自然可以想到利用华里氏公式进行计算。当然可能也有些比较特殊的题可以用区间在现公式进行解决。除此之外的如果积分区间不规则也没有合适的解决办法的时候，我们可能只有将其原函数求解出来，在带入上下限进行计算。
下面介绍我们今天的解决办法，在此之前我们需要引入一些前置知识。
\[ \begin{align*} &(cosx + isinx) ^n = cos(nx) + isin(nx) \tag{1} \\ &(x+y)^n = (_0^{n})x^n y^0 + (_1^{n})x^{n-1} y^{1} ... + (_n^{n})x^0 y^n \tag{2} \end{align*} \]
首先引入的是棣莫弗公式,关于证明请参加维基百科，整个证明过程都比较简单。其次是二项式定理。二者是如何联系起来的我们之后见分晓，再此暂时按下不表。
根据上述公式我们令 \[ \begin{align*} cosx + isinx = y \tag{3} \end{align*} \]
则有
\[ \begin{align*} &cosx -isinx = \frac{1}{y} \tag{4} \\ &cos(nx) + isin(nx) = y^n \tag{5} \\ &cos(nx) - isin(nx) = \frac{1}{y^n} \tag{6} \end{align*} \]
再次简要说明式4的推导，我们可以在式3的基础上分子分母同时乘上一个 $cosx - isinx $ ，之后简单化简可得。其余推导类似。
我们根据式 \(3,4,5,6\) 做进一步的推导，将式 \(3,4\) 进行加减，式 \(5,6\) 进行加减可得到如下等式:
\[ \begin{align*} &2cosx = y + \frac{1}{y} \tag{7} \\ &2isinx = y - \frac{1}{y} \tag{8} \\ &2cos(nx) = y^n + \frac{1}{y^n} \tag{9} \\ &2isin(nx) = y^n - \frac{1}{y^n} \tag{10} \end{align*} \]
观察分析上式，我们可以得到一个比较明显的积分思路，首先我们对式7两边同时求一个m次幂，对式8两边同时求一个 n 次幂，n 需为偶数，以便消去虚数 i 。也即如下的形式
\[ \begin{align*} &(2cosx)^m = (y + \frac{1}{y})^m \tag{11} \\ &(2isinx)^n = (y - \frac{1}{y})^n \tag{12} \\ \end{align*} \]
然后对等式右边用二项式定理进行展开，就会得到关于 \(y^n + \frac{1}{y^n}\) 或者 \(y^n - \frac{1}{y^n}\) 的形式，我们在利用式 9 和 10 将其还原为关于 \(sinx\) 或者 \(cosx\) 的多个倍角的形式相加，最后两边同时积分，这样对一个高次幂的积分就转化为对一次式倍角三角函数的积分，而对倍角的积分是很容易的，于是我们的问题自然就得到了解决。
下面以一个具体的实例来进行整个过程的阐释
求积分 \(\int cos^8xdx\)
利用式11，我们取m为8,则有
\[ \begin{align*} 2^8 cos^8x & = (y + \frac{1}{y})^8 \\ & = (y ^8 + \frac{1}{y^8}) + 8(y ^6 + \frac{1}{y^6}) + 28(y ^4 + \frac{1}{y^4}) + 56 (y ^2 + \frac{1}{y^2}) + 70 \\ & = 2cos8x + 16cos6x + 56cos4x + 112cos2x + 70 \end{align*} \]
因此
\[ \begin{align*} cos^8x = \frac{1}{2^7}(cos8x + 8cos6x + 28cos4x + 56cos2x + 35) \tag{13} \end{align*} \]
对式13两边同时积分有: \[ \begin{align*} \int cos^8xdx & = \frac{1}{2^7} \int (cos8x + 8cos6x + 28cos4x + 56cos2x + 35) \\ & = \frac{1}{2^7}(\frac{sin8x}{8} + 8\frac{sin6x}{6} + 28\frac{sin4x}{4} + 56\frac{sin2x}{2} + 35x ) + C \end{align*} \]
在如求 \(\int sin^8xdx\)
利用式12，我们取n为8,则有
\[ \begin{align*} 2^8 i ^8 sin^8x & = (y - \frac{1}{y})^8 \\ & = (y ^8 + \frac{1}{y^8}) - 8(y ^6 + \frac{1}{y^6}) + 28(y ^4 + \frac{1}{y^4}) - 56 (y ^2 + \frac{1}{y^2}) + 70 \\ & = 2cos8x - 16cos6x + 56cos4x - 112cos2x + 70 \end{align*} \]
因此
\[ \begin{align*} sin^8x = \frac{1}{2^7}(cos8x - 8cos6x + 28cos4x - 56cos2x + 35) \tag{14} \end{align*} \]
对式14两边同时积分有: \[ \begin{align*} \int sin^8xdx & = \frac{1}{2^7} \int (cos8x - 8cos6x + 28cos4x - 56cos2x + 35) \\ & = \frac{1}{2^7}(\frac{sin8x}{8} - 8\frac{sin6x}{6} + 28\frac{sin4x}{4} - 56\frac{sin2x}{2} + 35x ) + C \end{align*} \]